郑州大学2009年高等代数考研真题试卷
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110分)设 是互不相同的整数,求证多项式

在整系数多项式环中不可约。

210 分) 有重根的条件。

3 10分)记

的根。

410分)(1)设  

            2)求 其中

515分)设 阶方阵 的伴随矩阵。证明:当 时, 时, 时,

610分)设 阶方阵, 为正整数,线性方程组 有解向量 。证明:向量组 线性无关.

7(10)求下面向量组的秩和一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组表示:

810分)若下面线性方程组有解,常数应满足什么条件?

915分)已知矩阵 

有特征值 ,矩阵 。其中 为实数, 为单位阵。

(1)    ,并说明 是否可以对角化;

(2)    矩阵 是否可以对角化,若能,求对角矩阵 ,使 .

10(15)已知 均为三阶非零矩阵,且

(1)    证明 的特征值只能是01;并且01必是 的特征值;

(2)    关于 的特征向量,则 必是矩阵 关于 的特征向量。

1115分)设

(1)    用正交变换化此二次型为标准型,并写出所有的正交变换;

(2)    是否有可逆矩阵 ,使得 。其中 是原二次型的矩阵。若有,求出它;若无,说明理由。

12  (20) 为有理数域上的三维向量空间, 的线性变换。若对 ,有 ,证明 线性无关。

 

数学分析

一、(20)设 上连续并且单调递减,证明函数

上单调递减。

二、(20)设 , ,证明极限 存在并求之。

三、(20)设 个正实数,求

四、(10)区间上的连续函数如果在任何有理点上为零,证明此函数恒为零。

五、(20)证明  

六、(20)研究函数  的连续性及可微性。

七、(20)求正向简单闭曲线 使积分  最大,并求出最大值

八、(每小题10分,共20

为平面上一个有界闭集,连续函数 一对一映为平面上点集 ,证明

(1)    也是有界闭集

(2)    的逆映射也是连续函数。

 

 

 

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